Параболы – это графики квадратичной функции вида f(x) = ax^2 + bx + c, где a, b и c – коэффициенты, а x – переменная. Вершина параболы – это точка на графике, в которой парабола имеет наибольшее или наименьшее значение. Знание, какие значения параметра р могут принимать вершины парабол, является важным для решения многих задач.
Уравнение параболы вида f(x) = ax^2 + bx + c может быть представлено в канонической форме f(x) = a(x — h)^2 + k, где (h, k) – координаты вершины параболы. Значение параметра h определяет горизонтальное смещение вершины параболы, а значение параметра k задает вертикальное смещение.
При значениях параметра р, равных нулю, вершины парабол находятся на оси ордина́т. Если значение параметра р больше нуля, то вершины парабол находятся выше оси ордина́т, а при отрицательном значении параметра р – ниже.
Например, при р = 0 вершина параболы совпадает с осью ордина́т и ее координата будет равна (h, k) = (0, c). Если р > 0, то вершина параболы будет иметь координаты (h, k), где h = -b/2a и k = f(h). Аналогично при р < 0, вершина параболы будет иметь координаты (h, k), где h = -b/2a и k = f(h).
Вершина параболы: определение и свойства
Свойства вершины параболы:
- Координаты: вершина параболы имеет координаты (h, k), где h – это абсцисса вершины, а k – ордината.
- Знак координаты k: если парабола направлена вверх, то k – минимальное значение функции и будет отрицательным. Если парабола направлена вниз, то k – максимальное значение и будет положительным.
- Ось симметрии: вершина параболы является точкой пересечения оси симметрии параболы, которая проходит через вершину и перпендикулярна оси ординат.
Определение и изучение свойств вершины параболы позволяет анализировать график параболической функции и решать задачи, связанные с ее использованием в различных областях.
Примеры парабол с различными значениями р
Рассмотрим несколько примеров парабол с различными значениями параметра p:
- Если значение p > 0, то вершина параболы будет находиться выше оси Ox и парабола будет открыта вверх. Примером такой параболы является уравнение y = x^2 — 4x + 3. Вершина этой параболы находится в точке (2, -1).
- Если значение p = 0, то вершина параболы будет находиться на оси Ox. Примером такой параболы является уравнение y = x^2 + 4x + 4. Вершина этой параболы находится в точке (-2, 0).
- Если значение p < 0, то вершина параболы будет находиться ниже оси Ox и парабола будет открыта вниз. Примером такой параболы является уравнение y = x^2 + 2x + 1. Вершина этой параболы находится в точке (-1, 0).
Зная значения параметра p в уравнении параболы, мы можем определить положение и форму параболы на координатной плоскости.
Парабола с положительным значением р
При положительном значении коэффициента a парабола открывается вверх. Это означает, что вершина параболы будет находиться в точке с наибольшим значением y. Для того чтобы найти координаты вершины параболы, можно воспользоваться формулами:
| Формула для x-координаты вершины: | x = -\frac{b}{2a} |
|---|---|
| Формула для y-координаты вершины: | y = f(x) = f\left(-\frac{b}{2a} ight) |
Заметим, что значение коэффициента a влияет только на направление параболы, а не на ее положение на координатной плоскости. Другими словами, коэффициент a определяет крутизну параболы, но не сдвигает ее влево или вправо.
Пример:
Рассмотрим параболу с уравнением y = 2x^2 — 4x + 2. В данном случае коэффициент a равен 2, что означает, что парабола открывается вверх. Для нахождения вершины параболы можно воспользоваться формулами:
| Формула для x-координаты вершины: | x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1 |
|---|---|
| Формула для y-координаты вершины: | y = f(1) = 2 \cdot 1^2 — 4 \cdot 1 + 2 = 0 |
Таким образом, вершина параболы с уравнением y = 2x^2 — 4x + 2 находится в точке (1, 0).
Обратите внимание, что при положительном значении коэффициента a парабола будет всегда открываться вверх. Ее форма может меняться только в зависимости от значений коэффициентов b и c.
Парабола с отрицательным значением р
Уравнение параболы может быть представлено в виде y — ax^2 — bx — c = 0. Для параболы с отрицательным значением р, соответствующее уравнение будет иметь вид:
y = -ax^2 + bx — c
Например, рассмотрим параболу с уравнением y = -x^2 + 2x — 1. В этом случае a = -1, b = 2 и c = -1. Такая парабола будет ориентирована вниз.
Для определения вершины параболы с отрицательным значением р, можно воспользоваться формулой:
x = -b/2a
y = f(x) = -D/4a, где D = b^2 — 4ac — дискриминант.
Например, для параболы y = -x^2 + 2x — 1, b = 2 и a = -1. Подставив значения в формулу, найдем:
x = -2/2(-1) = 1
Для x = 1 считаем:
y = -D/4a = -(2^2 — 4(-1)(-1))/4(-1) = -1
Таким образом, вершина параболы y = -x^2 + 2x — 1 находится в точке (1, -1).
Симметричная парабола
При определенных значениях п параметра в уравнении параболы, график оказывается симметричным относительно оси OY.
Уравнение симметричной параболы имеет вид:
y = a(x — h)2 + k,
где а, h, k — произвольные значения.
Если параметр а положителен, график параболы открывается вверхе, если а отрицателен — график открывается вниз.
Симметрия параболы позволяет нам сделать вывод, что вершина параболы всегда лежит на оси OY.
Решение уравнения параболы позволяет найти координаты вершины и определить, где график пересекает ось OX.
Примеры графиков симметричных парабол:
- уравнение y = x2:
- вершина в точке (0,0);
- график пересекает ось OX в точках (-1,0) и (1,0).
- уравнение y = -2(x — 3)2 + 4:
- вершина в точке (3,4);
- график пересекает ось OX в точке (3,0).
Вершина параболы и ее координаты
x = -b / (2a),
y = -D / (4a),
где D = b^2 — 4ac – дискриминант квадратного уравнения.
Зная эти формулы, можно определить координаты вершины параболы для любых значений коэффициентов a, b и c.
Например, если у нас есть уравнение параболы y = x^2 — 6x + 8, то коэффициенты a = 1, b = -6 и c = 8. Подставляя их в формулы, получим:
x = -(-6) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3,
y = -(36 — 32) / (4 * 1) = -4 / 4 = -1.
Таким образом, координаты вершины параболы y = x^2 — 6x + 8 равны (3, -1).
Значение a влияет на то, в каком направлении открывается парабола – вверх или вниз. Если a > 0, то парабола открывается вверх, а если a < 0, то парабола открывается вниз. Значение b влияет на положение вершины параболы на оси x, а значение c – на положение вершины на оси y.
Решение задач с парой парабол
Для решения задач, связанных с парой парабол, необходимо понимать, как меняется их форма и положение в зависимости от значения параметра р.
Парабола имеет уравнение вида y = ax^2 + bx + c, где a, b, c – коэффициенты, регулирующие ее форму и положение. При изменении параметра р можно получить следующие результаты:
- Если р > 0: обе параболы направлены вверх и симметричны относительно оси OX. Точка пересечения парабол находится выше оси OX.
- Если р = 0: одна из парабол является прямой линией y = c, а другая парабола направлена вверх. Точка пересечения парабол находится на оси OX.
- Если р < 0: обе параболы направлены вниз и симметричны относительно оси OX. Точка пересечения парабол находится ниже оси OX.
Для точного решения задачи с парой парабол необходимо найти уравнение общего вида и проделать несколько вычислений. Также может потребоваться анализ графика парабол на координатной плоскости.
Ниже приведены примеры решения задач с парой парабол.