Функция тангенс, обозначаемая как tg или tan, является одной из основных тригонометрических функций. Она описывает соотношение между противоположным и прилежащим катетами прямоугольного треугольника. Тангенс может принимать различные значения в зависимости от величины угла, который передается в аргумент функции.
Значения функции тангенс могут быть положительными или отрицательными, а также равными нулю. Все зависит от величины угла, в отношении к которому вычисляется тангенс. При увеличении значения угла от нуля до 90 градусов, тангенс увеличивается и стремится к бесконечности. Это значит, что при угле, равном 90 градусов, тангенс не существует (бесконечно возрастает).
Также тангенс является периодической функцией с периодом равным 180 градусам или π радианам. Это означает, что значения функции повторяются через каждые 180 градусов или π радианов. Например, значение тангенса угла 45 градусов равно единице, а значение тангенса угла 135 градусов равно минус единице.
Промежуток значений функции тангенс включает все действительные числа, кроме тех, которые соответствуют углам кратным 90 градусам. Углы, равные кратным 90 градусам, не имеют тангенса, так как противоположный катет в этом случае будет равен нулю. Однако, исключая такие значения, все остальные действительные числа могут быть значениями функции тангенс.
Как определить промежуток значений функции тангенс
Чтобы определить промежуток значений функции тангенс, можно воспользоваться следующими правилами:
- Если значение аргумента x стремится к (π/2) + kπ справа, то значение тангенса стремится к положительной бесконечности.
- Если значение аргумента x стремится к (π/2) + kπ слева, то значение тангенса стремится к отрицательной бесконечности.
- Если значение аргумента x стремится к (3π/2) + kπ справа, то значение тангенса стремится к отрицательной бесконечности.
- Если значение аргумента x стремится к (3π/2) + kπ слева, то значение тангенса стремится к положительной бесконечности.
Таким образом, промежуток значений функции тангенс зависит от положения аргумента относительно особых точек (π/2) + kπ и (3π/2) + kπ. Он может быть любым действительным числом, кроме чисел, при которых тангенс не определён.
Определение значения функции тангенс
Значение функции тангенс может быть представлено в виде бесконечной последовательности дробей:
| Угол (в градусах) | Значение тангенса (tg) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 30 | √3 / 3 |
| 45 | 1 |
| 60 | √3 |
| 90 | не определен |
В таблице представлены некоторые углы и соответствующие значения тангенса. Значение тангенса для угла 90° не определено, так как в этом случае гипотенуза прямоугольного треугольника равна нулю, а деление на ноль не определено.
Все значения тангенса могут быть вычислены при помощи тригонометрических функций синуса (sin) и косинуса (cos) по следующим формулам:
- tg(x) = sin(x) / cos(x)
- tg(x) = 1 / ctg(x)
Значение тангенса может быть положительным или отрицательным в зависимости от знаков синуса и косинуса угла.
Промежуток значений с углом 0 градусов
При угле 0 градусов тангенс равен 0. Это означает, что промежуток значений с углом 0 градусов состоит только из одного числа — 0.
| Угол (градусы) | Значение тангенса |
|---|---|
| 0 | 0 |
Промежуток значений с углом 90 градусов
Так, при угле в 90 градусов (или в π/2 радиан) значение функции тангенс становится неопределенным. Это происходит, потому что в точке 90 градусов тангенс функции имеет вертикальный асимптоту, то есть аргументы с бесконечно большими значениями не имеют определенного значения для функции тангенс.
Поэтому промежуток значений функции тангенс с углом 90 градусов является пустым множеством.
Промежуток значений с углом 180 градусов
Угол 180 градусов соответствует прямой линии, которая делит плоскость на две половины. Так как тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему катету, то в данном случае возникает деление на ноль. При этом результат тангенса становится бесконечным.
Итак, промежуток значений функции тангенс с углом 180 градусов равен множеству всех действительных чисел кроме 0, так как 0 подразумевает деление на ноль.
| Угол (градусы) | Тангенс (значение) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 180 | не определен |
| 360 | 0 |
| 540 | не определен |
| 720 | 0 |
| … | … |
В таблице приведены значения тангенса для нескольких углов в градусах. Как видно, при угле 180 градусов и его кратных значениях тангенс не определен (записывается как «не определен»), что отражает деление на ноль.
Промежуток значений с углом 270 градусов
Угол 270 градусов находится на оси отрицательных x. Функция тангенс для этого угла обладает определенным промежутком значений.
Так как тангенс представляет отношение сторон прямоугольного треугольника, его значения могут быть положительными или отрицательными в зависимости от положения угла в четверти.
В случае угла 270 градусов, промежуток значений функции тангенс состоит из отрицательных бесконечностей: тангенс угла 270 градусов равен отрицательной бесконечности (-∞).
Это происходит потому, что тангенс 270 градусов равен отношению противоположной стороны (катета) к прилежащей стороне (катету) в прямоугольном треугольнике, который построен на оси отрицательных x и проходит через точку (-1, 0). При этом противоположная сторона равна бесконечности, а прилежащая сторона равна -1, что приводит к получению отрицательной бесконечности в результате деления (-∞).
Таким образом, промежуток значений функции тангенс с углом 270 градусов состоит только из отрицательных бесконечностей (-∞).