Когда у квадратного уравнения есть один корень?

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c — заданные числа, причем коэффициент a не равен нулю. Квадратное уравнение может иметь различное количество корней: два, один или ни одного. В данной статье мы рассмотрим условия, при которых квадратное уравнение имеет только один корень.

Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант равен нулю. Дискриминант — это выражение D = b^2 — 4ac, которое определяет количество корней уравнения. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет ровно один корень. Физический смысл дискриминанта заключается в определении типа графика параболы, заданной уравнением.

Для квадратного уравнения с одним корнем выполняется следующее условие: D = b^2 — 4ac = 0.

Пример квадратного уравнения с одним корнем: x^2 + 4x + 4 = 0. В данном случае, дискриминант равен нулю: D = 4^2 — 4 * 1 * 4 = 0. Следовательно, уравнение имеет только один корень, который равен x = -2.

Квадратное уравнение и его корни

Квадратное уравнение может иметь несколько видов корней:

Коэффициент D, известный как дискриминант, позволяет определить вид и количество корней уравнения. Если D > 0, уравнение имеет два различных вещественных корня. Если D = 0, уравнение имеет один вещественный корень. Если D < 0, уравнение имеет два комплексных корня.

Зная вид и количество корней, можно решить квадратное уравнение и найти значения переменной x, при которых уравнение будет выполняться. Это позволяет нам решать различные задачи, связанные с физикой, математикой и другими областями науки.

Как определить, имеет ли квадратное уравнение один корень?

Чтобы определить, имеет ли квадратное уравнение один корень, необходимо решить его и посчитать количество корней. Квадратное уравнение обычно записывается в виде:

ax² + bx + c = 0

где a, b и c — коэффициенты уравнения.

Для того чтобы найти корни квадратного уравнения, можно использовать формулу дискриминанта:

D = b² — 4ac

Если дискриминант равен нулю (D = 0), то у уравнения есть один корень. Это означает, что уравнение имеет вершину на оси абсцисс и график касается её один раз.

Если дискриминант больше нуля (D > 0), то у уравнения есть два различных корня. Это означает, что уравнение пересекает ось абсцисс в двух точках.

Если дискриминант меньше нуля (D < 0), то у уравнения нет действительных корней. Это означает, что уравнение не пересекает ось абсцисс и не имеет точек пересечения с ней.

После определения количества корней квадратного уравнения, можно найти их значения, используя следующие формулы:

x_1,2 = (-b ± √D) / (2a)

где x₁ и x₂ — корни уравнения, ± означает, что нужно найти значения исходя из знака (+ или —), √D — квадратный корень из дискриминанта.

Условия, при которых квадратное уравнение имеет только один корень

Квадратное уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0. В зависимости от значений коэффициентов a, b и c, уравнение может иметь различное количество корней.

Если дискриминант уравнения равен нулю, то квадратное уравнение имеет только один корень. Дискриминант определяется формулой D = b^2 — 4ac. Если D равен нулю, то уравнение имеет один корень, который будет вещественным числом.

Условия, при которых квадратное уравнение имеет только один корень:

1. Дискриминант D равен нулю: D = 0

Если D равен нулю, то уравнение имеет только один вещественный корень. Это означает, что график квадратного уравнения пересекает ось абсцисс только в одной точке.

Например, уравнение x^2 + 4x + 4 = 0 имеет только один корень -2. График этого уравнения представляет собой пара-болу с вершиной в точке (-2, 0).

Если дискриминант D не равен нулю, то квадратное уравнение будет иметь два различных вещественных корня или два комплексных корня.

Методы решения квадратного уравнения с одним корнем

Квадратное уравнение может иметь один корень в следующих случаях:

• Дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac, где a, b и c — коэффициенты в уравнении ax^2 + bx + c = 0. Если D = 0, то уравнение имеет единственный корень, который можно найти по формуле x = -b/2a.
• Коэффициенты a и c квадратного уравнения равны нулю, а коэффициент b не равен нулю. В этом случае уравнение имеет один корень, который равен нулю, то есть x = 0.

Для решения квадратного уравнения с одним корнем используются следующие методы:

1. Формулы Виета. Если уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0, то сумма корней равна -b/a, а произведение корней равно c/a. Если уравнение имеет один корень, то этот корень должен быть равен как сумме, так и произведению корней, то есть -b/a = x = c/a.
2. Графический метод. Строится график квадратного уравнения и находится его пересечение с осью абсцисс, то есть точка, где значение уравнения равно нулю. Если график пересекает ось абсцисс только в одной точке, то уравнение имеет один корень.
3. Применение свойств квадратного уравнения. При наличии одного корня, квадратное уравнение можно привести к виду (x — a)^2 = 0, где a — значение корня. Затем применяется свойство равенства нулю квадрата числа, и находится значение корня.

Примеры квадратных уравнений с одним корнем

Квадратные уравнения могут иметь различное количество корней, включая один корень. В случаях, когда уравнение имеет один корень, это означает, что оно имеет два одинаковых корня.

Примеры квадратных уравнений с одним корнем выглядят следующим образом:

1. x² — 6x + 9 = 0

2. 4x² — 4x + 1 = 0

3. 9x² — 12x + 4 = 0

Во всех этих примерах коэффициенты уравнений подобраны таким образом, что они имеют один и тот же квадратный корень.

Решение таких уравнений осуществляется с помощью формулы дискриминанта. Когда дискриминант равен нулю, это и означает, что уравнение имеет один корень.

Значение уравнений с одним корнем в контексте задач из реальной жизни

Квадратные уравнения, имеющие только один корень, играют важную роль во многих задачах из реальной жизни. Такие уравнения возникают, например, при моделировании баллистической траектории полета объектов, анализе времени падения предметов с высоты или решении задач на оптимизацию.

Когда уравнение имеет только один корень, это означает, что событие или явление, описываемое уравнением, происходит в определенный момент времени или имеет одну единственную возможную величину. Например, величина, которую мы ищем, может быть длиной отрезка, временем, скоростью или другой физической характеристикой.

Рассмотрим пример задачи из реальной жизни, в которой квадратное уравнение имеет один корень:

Представим, что у нас есть физический объект, который движется по прямой с постоянным ускорением. Нам нужно найти время, через которое объект достигнет заданной точки на прямой. Для этого мы можем использовать уравнение движения, которое имеет вид:

$$s = ut + \frac{1}{2}at^2$$

где:

— $$s$$ — расстояние, которое нужно преодолеть объекту;

— $$u$$ — начальная скорость объекта;

— $$t$$ — время, которое объект будет двигаться;

— $$a$$ — ускорение объекта.

Если мы знаем значения всех переменных, кроме $$t$$, и уравнение имеет один корень, то это будет означать, что объект достигнет заданной точки в один определенный момент времени.

Таким образом, решение квадратного уравнения с одним корнем в задачах из реальной жизни помогает нам определить конкретные значения физических величин, решить задачи на оптимизацию или прогнозирование, а также предоставляет нам точные численные результаты, которые можно использовать в дальнейших расчетах и исследованиях.